Question

2、求使2ⁿ-1为7的倍数的所有正整数n．

Answer 1

分析：先由2³=8除以7余1，即8≡1（mod7），分n是3的倍数和n除以3有余数分类讨论，（1）n=3k时，则2ⁿ-1=（2³）^k-1=8^k-1≡1^k-1=0（mod7）．（2）n=3k+1或n=3k+2时，则2ⁿ-1=2•（2³）^k-1=2•8^k-1≡2•1^k-1=1（mod7）或2ⁿ-1=2²•（2³）^k-1=4•8^k-1≡4•1^k-1=
3（mod7）．所以得到使2ⁿ-1为7的倍数的所有正整数n为3|n．

解答：解：因为2³=8≡1（mod7），所以对n按模3进行分类讨论．
（1）若n=3k，则
2ⁿ-1=（2³）^k-1=8^k-1≡1^k-1=0（mod7）；
（2）若n=3k+1，则
2ⁿ-1=2•（2³）^k-1=2•8^k-1
≡2•1^k-1=1（mod7）；
（3）若n=3k+2，则
2ⁿ-1=2²•（2³）^k-1=4•8^k-1
≡4•1^k-1=3（mod7）．
所以，当且仅当3|n时，2ⁿ-1为7的倍数．

点评：此题考查了学生对同余问题的认知和掌握，解答此题的关键是先由2³=8除以7余1，即8≡1（mod7），分n是3的倍数和n除以3有余数分类讨论．