Question

在直角坐标系x o y中，已知点P是反比例函数图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．

（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切时，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．
（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：
①求出点A，B，C的坐标．
②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的．若存在，请直接写出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．

Answer 1

（1）四边形OKPA是正方形 （2）①A（0，），B（1，0）  C（3，0）．②满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）

解析试题分析：解：（1）∵⊙P分别与两坐标轴相切，
∴ PA⊥OA，PK⊥OK．
∴∠PAO=∠OKP=90°．
又∵∠AOK=90°，
∴  ∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．
∴四边形OKPA是矩形．
又∵OA=OK，
∴四边形OKPA是正方形．
（2）①连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为．

过点P作PG⊥BC于G．
∵四边形ABCP为菱形，
∴BC=PA=PB=PC．
∴△PBC为等边三角形．
在R t △PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，
PG=．
Sin ∠ PBG=，即．
解之得：x=±2（负值舍去）．
∴ PG=，PA=BC=2．
易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，
∴OB=OG－BG=1，OC=OG+GC=3．
∴ A（0，），B（1，0）  C（3，0）．
设二次函数解析式为：y=ax²+bx+c．
据题意得：
解之得：a=， b=， c=．
∴二次函数关系式为：． 
②解法一：设直线BP的解析式为：y="u" x+ v，据题意得：
解之得：u=， v=．
∴直线BP的解析式为：．
过点A作直线AM∥PB，则可得直线AM的解析式为：．
解方程组：
得： ； ．
过点C作直线CM∥PB，则可设直线CM的解析式为：．
∴0=．   
∴．
∴直线CM的解析式为：．
解方程组：
得： ； ．
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．
解法二：∵，
∴A（0，），C（3，0）显然满足条件．
延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．
又∵AM∥BC，
∴．
∴点M的纵坐标为．
又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4．
∴点M（4，）符合要求．
点（7，）的求法同解法一．
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．
解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．
又∵AM∥BC，
∴．
∴点M的纵坐标为．
即．
解得：（舍），．
∴点M的坐标为（4，）．
点（7，）的求法同解法一．
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．
考点：正方形的性质、二次函数与几何相结合
点评：该题较为复杂，主要考查学生对各种四边形判定的理解和应用，以及对二次函数与几何图形结合所构成的特殊点的联系和求解。