Question

如图，在直角坐标系中，半圆直径为OC，其圆心为D．过点A（2，0）作与半圆D相切于点E的切线AB，且∠OAB=45°．
（1）求切线AB所在直线的解析式．
（2）求半圆圆心D的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据点A的坐标求出OA，再根据∠OAB=∠OAB，求出OB=OA=2，得出B点的坐标，再把A（2，0）和B（0，2）代入y=kx+b，即可求出切线AB所在直线的解析式，
（2）连接DE，则DE⊥AB，AO=AE=2，求出AB的长，根据BE=AB-AE，求出BE，再根据BE=DE求出DE，根据BD=

BE2+DE2

求出BD，最后根据OD=OB-BD求出OD即可得出半圆圆心D的坐标．

解答：解：（1）∵点A（2，0），
∴OA=2，
∵∠OAB=45°，
∴∠OBA=45°，
∴∠OAB=∠OAB，
∴OB=OA=2，
∴B点的坐标是（0，2），
设AB所在直线的解析式是y=kx+b，
把A（2，0）和B（0，2）代入上式得：

2k+b=0 b=2

，
解得：k=-1，
则切线AB所在直线的解析式是y=-x+2；
（2）连接DE，
则DE⊥AB，AO=AE=2，
∵AB=

OA2+OB2

=

22+22

=2

2

，
∴BE=AB-AE=2

2

-2，
∵∠OBA=45°，
∴∠BDE=∠OBA=45°，
∴BE=DE=2

2

-2，
∴BD=

BE2+DE2

=

(2 2 -2)2+(2 2 -2)2

=24-16

2

，
∴OD=OB-BD=2-（24-16

2

）=16

2

-22，
∴半圆圆心D的坐标是（0，16

2

-22）．

点评：此题考查了圆的综合，用到的知识点是勾股定理、一次函数、切线的性质等，关键是根据题意求出有关线段的长度．