Question

如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B运动，点Q从点B以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，如果P、Q同时出发，设运动时间为ts，
（1）当t=2时，求△PBQ的面积；
（2）当t=

3

2

时，试说明△DPQ是直角三角形；
（3）当运动3s时，P点停止运动，Q点以原速立即向B点返回，在返回的过程中，DP是否能平分∠ADQ？若能，求出点Q运动的时间；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）易得PB和BQ的长度，那么△PBQ的面积=

1

2

×PB×BQ把相关数值代入即可求解；
（2）利用勾股定理可得DP，PQ，DQ的长度，证明DQ²+PQ²=DP²即可；
（3）易得AP=3，Q在BC上．设出BQ的长度为x，则利用相似可得OB与OA，根据12：DO=AP：PO，可得x的值，求得相应时间加上原来的3秒即为所求时间．

解答：解：（1）当t=2时，AP=t=2，BQ=2t=4，
∴BP=AB-AP=4，
∴△PBQ的面积=

1

2

×4×4=8；

（2）当t=

3

2

时，AP=1.5，PB=4.5，BQ=3，CQ=9，
∴DP²=AD²+AP²=2.25+144=146.25，PQ²=PB²+BQ²=29.25，DQ²=CD²+CQ²=117，
∵PQ²+DQ²=DP²，
∴∠DQP=90°，
∴△DPQ是直角三角形．

（3）设存在点Q在BC上，延长DQ与AB延长线交于点O．
设QB的长度为x，则QC的长度为（12-x），
∵DC∥BO，
∴∠C=∠QBO，∠CDQ=∠O，
∴△CDQ∽△BOQ，又CD=6，QB=x，QC=12-x，
∴

CQ

BQ

=

CD

BO

，即

12-x

x

=

6

BO

，
解得：BO=

6x

12-x

，
∴AO=AB+BO=6+

6x

12-x

=

72

12-x

，
∴DO=

(  72 12-x ) 2+ 36

，PO=

36+3x

12-x

，
∵∠ADP=∠ODP，
∴12：DO=AP：PO，
代入解得x=0.75，
∴DP能平分∠ADQ，
∵点Q的速度为2cm/s，
∴P停止后Q往B走的路程为（6-0.75）=5.25cm．
∴时间为2.625s，加上刚开始的3s，Q点的运动时间为5.625s．

点评：用到的知识点为：直角三角形的面积等于两直角边积的一半；若三角形的三边a，b，c符合a²+b²=c²，
那么∠C=90°；相似三角形的对应边成比例；三角形的角平分线分对边的比等于另两边之比．