Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形AOBC，AO=2，BO=3，函数y=

k

x

的图象经过点C．
（1）直接写出点C的坐标；
（2）将矩形AOBC分别沿直线AC，BC翻折，所得到的矩形分别与函数y=

k

x

（x＞0）交于点E，F求线段EF．
（3）若点P、Q分别在函数y=

k

x

图象的两个分支上，请直接写出线段P、Q两点的最短距离（不需证明）；并利用图象，求当

k

x

≤x时x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据OA=2，OC=3即可直接得出C点坐标；
（2）先把点C（0，4）代入反比例函数y=

k

x

的解析式，故可得出EF两点的坐标，根据两点间的距离公式即可求出EF的长；
（3）当P与Q的横纵坐标绝对值相等时，PQ的距离最小，令y=x，代入反比例解析式中求出x的值，即为y的值，确定出P与Q的坐标，即可求出OP与OQ的长，由OP+OQ即可求出P、Q最短距离PQ的长；先根据y=x时得出x的值，再根据函数图象的增减性进行解答即可．

解答：解：（1）∵四边形AOBC是矩形，OA=2，OC=3
∵C（3，2）；

（2）∵点C（3，2）在反比例函数y=

k

x

的图象上，
∴2=

k

3

，即k=6，
∴此反比例函数的解析式为y=

6

x

，
∵AD=OA=2，BG=OC=3，
∴D（0，4），G（6，0），
当y=4时，4=

6

x

，解得x=

3

2

，
∴E（

3

2

，4）
把x=6代入y=

6

x

得y=1，
∴F（6，1），
∴EF=

( 3 2 -6)2+(4-1)2

=

3 13

2

；

（3）当P与Q的横纵坐标绝对值相等时，PQ的距离最小，
∴将y=x代入y=

6

x

得x²=6，
解得：x=±

6

，
∴P（

6

，

6

），Q（-

6

，-

6

），
∴此时PQ的距离最短，最短距离PQ=

(2 6 )2+(2 6 )2

=4

3

，即PQ最小值为4

3

．
∵由x=

6

x

时，x₁=

6

，x₂=-

6

，
∵根据图象，当x≥

6

时，y随着x的增大而减小；
当-

6

≤x＜0时，y随着x的增大而小．
∴当

6

x

≤x时，x的取值范围为：x≥

6

或-

6

≤x＜0．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数及矩形的性质是解答此题的关键．