题目内容
在直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-2tx+t2-t（t＞0）与x轴的两个交点分别为A、B（A在B的左边），直线l：y=kx经过抛物线的顶点C，与抛物线的另一个交点为D．（1）求抛物线的顶点C的坐标（用含t的代数表示），并求出直线l 的解析式；
（2）如图①，当t=
| 1 |
| 4 |
（3）当t≠1时，设△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，用含t的代数式表示
| S1 |
| S2 |
分析：（1）先把抛物先的解析式化为顶点式的形式，求出其顶点坐标，再把其顶点坐标代入y=kx即可求出k的值，进而求出直线l的解析式；
（2）把t=
代入抛物线解析式y=（x-t）2-t中，得y=（x-
）2-
，令y=0即可求出A、B两点的坐标，把此抛物线的解析式与直线l的解析式联立可求出C、D两点的坐标，再由tan∠DBA=tan∠CAB=
可得出∠DBA=∠CAB，由平行线的判定定理可知AC∥BD；
（3）由△ABC、△ABD同底可知
=|
|，把直线l与抛物线的解析式联立求出x1，x2的值，代入直线解析式可得出yC，yD的值，进而可得出结论．
（2）把t=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
（3）由△ABC、△ABD同底可知
| S1 |
| S2 |
| yC |
| yD |
解答：解：（1）y=x2-2tx+t2-t=（x-t）2-t，
∴顶点C的坐标为（t，-t），
∵y=kx经过抛物线的顶点C，
∴将点C代入y=kx，即-t=kt，
∵t≠0，
∴k=-1，
∴直线l的解析式为y=-x；
（2）把t=
代入抛物线解析式y=（x-t）2-t中，得y=（x-
）2-
，令y=0，解得：x1=
，x2=-
，
∴A（-
，0）、B（
，0）
联立方程
，解得：x1=-
，x2=
，
∴C（
，-
）、D（-
，
）
∴tan∠DBA=tan∠CAB=
，
∴∠DBA=∠CAB，
∴AC∥BD；
（3）∵△ABC、△ABD同底，
∴
=|
|
联立方程
，
解得x1=t，x2=t-1，
∴yC=-t，yD=1-t，
∴
=|
|=|
|=
．
∴顶点C的坐标为（t，-t），
∵y=kx经过抛物线的顶点C，
∴将点C代入y=kx，即-t=kt，
∵t≠0，
∴k=-1，
∴直线l的解析式为y=-x；
（2）把t=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
∴A（-
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
联立方程
|
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
∴C（
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
∴tan∠DBA=tan∠CAB=
| 1 |
| 2 |
∴∠DBA=∠CAB，
∴AC∥BD；
（3）∵△ABC、△ABD同底，
∴
| S1 |
| S2 |
| yC |
| yD |
联立方程
|
解得x1=t，x2=t-1，
∴yC=-t，yD=1-t，
∴
| S1 |
| S2 |
| yC |
| yD |
| -t |
| 1-t |
|
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到三角形的面积公式、正比例函数的性质、平行线的判定定理，涉及面较广，难度较大．
练习册系列答案
相关题目
在直角坐标系xoy中，函数y=4x的图象与反比例函数y=
（2012•北京二模）已知：如图，在直角坐标系xOy中，点A（8，0）、B（0，6），点C在x轴的负半轴上，AB=AC．动点M在x轴上从点C向点A移动，动点N在线段AB上从点A向点B移动，点M、N同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位，移动时间为t秒（0＜t＜10）．
析式为y=x2-mx+n．方程x2-mx+n=0的两根倒数和为-4．