题目内容

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于A（0，4），且抛物线经过点C（-3，-2），对称轴x=- $数学公式$ ．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）过点C作x轴的平行线交抛物线于B点，连接AC，AB，若在抛物线上有一点D，使得 $数学公式$ _△ABC=S_△BCD，求D点的坐标；
（3）记抛物线与x轴左交点为E，在A、E两点之间的抛物线上有一点F，连接AE、FE、FA，试求出使得S_△AEF面积最大时，F点的坐标以及此时的面积．

解：（1）由题意得： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ．
故抛物线解析式为：y=x²+5x+4；

（2）当y=-2时，
-2=x²+5x+4
解得：x₁=-3，x₂=-2，
∴BC=1，
$\text{[math]}$ =3，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴h=9，
∵直线BC下方的抛物线到直线BC的距离最大为： $\text{[math]}$
∴点D位于直线BC上方且到直线BC的距离为：9，
∴y_D=7，代入抛物线得：x²+5x+4=7，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴D₁（ $\text{[math]}$ ，7），D₂（ $\text{[math]}$ ，7）；

（3）由y=x²+5x+4=（x+4）（x+1），
则图象与x轴左侧交点为：（-4，0），再将A（0，4）代入y=kx+b，

则 $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$
∴直线AE的解析式为：y=x+4，
设F坐标为（m，m²+5m+4），
则G坐标为（m，m+4）
∴FG=（m+4）-（m²+5m+4）=-m²-4m，
S_△AEF= $\text{[math]}$ （-m²-4m）×4=-2m²-8m（-4＜m＜0），
当m= $\text{[math]}$ 时，
S_△AEF的最大面积为：S_△AEF=-2×（-2）²-8×（-2）=8，
此时F的坐标为（-2，-2）．
分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可得出答案；
（2）根据当y=-2时，则-2=x²+5x+4，得出BC的长，再利用A点坐标得出S_△ABC，进而得出D点纵坐标，即可得出答案；
（3）首先求出直线AE的解析式为：y=x+4，设F坐标为（m，m²+5m+4），则G坐标为（m，m+4）得出FG=（m+4）-（m²+5m+4）=-m²-4m，
即可得出S_△AEF= $\text{[math]}$ （-m²-4m）×4=-2m²-8m（-4＜m＜0），进而得出S_△AEF面积最大时，F点的坐标以及此时的面积．
点评：此题主要考查了三角形面积求法以及待定系数法求二次函数解析式和图象上点的性质等知识，利用数形结合得出D点位置是解题关键．