Question

已知二次函数．

（1）当时，函数值随的增大而减小，求的取值范围；

（2）以抛物线的顶点为一个顶点作该抛物线的内接正（，两点在抛物线上），请问：△的面积是与无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；

（3）若抛物线与轴交点的横坐标均为整数，求整数的值．

Answer 1

 解： （1）因为

所以抛物线的对称轴为，                             ……………… 1分

因为要使时，函数值y随x的增大而减小，

所以由图像可知对称轴应在直线右侧，从而m≥2.           …………………3分

（2）（方法一）根据抛物线和正三角形的对称性，可知轴，设抛物线的对称轴与交于点，则，设，∴，…………………  4分

又

     ，…………………  5分

∴，∴，…………………  6分

∴，，                 

∴定值；…………………7分

（方法二）由顶点以及对称性，设，  …………………  4分

则M,N的坐标分别为 ，  5分

因为M，N两点在抛物线上，

所以，              …………………  6分

即，解得，           

所以（与m无关）；                     …………………  7分

（3）令，即时，              

 有，             …………………  9分

由题意，为完全平方数，令，    

即，  ∵为整数，∴的奇偶性相同，

∴或解得或

综合得.                                              …………………  11分