Question

矩形纸片ABCD，AD=3AB，若将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕交AC于点O，经过O的直线交AD于点E，交BC于F，则EF：BF的值是

 

．

Answer 1

考点：矩形的性质,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，由OA=OC，得∠AOE=∠COF=90°，由题意得AD∥BC，∠EAO=∠FCO，可证明△AOE≌△COF，从而得出∴四边形AFCE是菱形． 由EF⊥AC，得∠AOE=90°，可证明△AOE∽△ADC，写出比例式

OE

OA

=

CD

AD

=

AE

AC

，即可得出EF=

1

3

AC=

10

3

CD，BF=

5

3

CD，从而求得结果．

解答：
证明：当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，
∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO
在△AOE与△COF中

∠AOE=∠COF=90° ∠EAO=∠FCO OA=OC

∴△AOE≌△COF（AAS）
∴OE=OF
∴四边形AFCE是菱形；
∴AE=AF=FC=CE，OE=OF=

1

2

EF，OA=OC=

1

2

AC；
∴OE：OA=EF：AC=CD：AD，
∴EF=

1

3

AC=

10

3

CD，
∵∠FOC=∠B=90°，∠OCF=∠BCA；
∴△FOC∽△ABC，
∴CF：AC=OF：AB=

10

6

，
∴AF=

10

6

AC=

5

3

CD，
在RT△ABF中
BF=

AF2-AB2

=

4

3

CD，
∴EF：BF=

10

4

．
故答案为：

10

4

．

点评：本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、矩形的性质以及相似三角形的判定和性质的综合运用．