题目内容

精英家教网如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．
（1）若BK=
5
2
KC，求
CD
AB
的值；
（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=
1
2
AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=
1
n
AD（n＞2），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．
分析：（1）由已知得
CK
BK
=
2
5
，由CD∥AB可证△KCD∽△KBA，利用
CD
AB
=
CK
BK
求值；
（2）AB=BC+CD．作△ABD的中位线，由中位线定理得EF∥AB∥CD，可知G为BC的中点，由平行线及角平分线性质，得∠GEB=∠EBA=∠GBE，则EG=BG=
1
2
BC，而GF=
1
2
CD，EF=
1
2
AB，利用EF=EG+GF求线段AB、BC、CD三者之间的数量关系；
当AE=
1
n
AD（n＞2）时，EG=BG=
1
n
BC，而GF=
1
n
CD，EF=
n-1
n
AB，EF=EG+GF可得BC+CD=（n-1）AB．
解答：精英家教网解：（1）∵BK=
5
2
KC，
∴
CK
BK
=
2
5
，
又∵CD∥AB，
∴△KCD∽△KBA，
∴
CD
AB
=
CK
BK
=
2
5


（2）当BE平分∠ABC，AE=
1
2
AD时，AB=BC+CD；
证明：取BD的中点为F，连接EF交BC于G点，
由中位线定理，得EF∥AB∥CD，
∴G为BC的中点，∠GEB=∠EBA，
又∵∠EBA=∠GBE，
∴∠GEB=∠GBE，
∴EG=BG=
1
2
BC，而GF=
1
2
CD，EF=
1
2
AB，
∵EF=EG+GF，
即：
1
2
AB=
1
2
BC+
1
2
CD；
∴AB=BC+CD；
同理，当AE=
1
n
AD（n＞2）时，EF∥AB，
同理可得：
BG
BC
=
AE
AD
=
1
n
，则BG=
1
n
•BC，则EG=BG=
1
n
•BC，
GF
CD
=
BG
BC
=
1
n
，则GF=
1
n
•CD，
EF
AB
=
ED
AD
=
n-1
n
，
∴
1
n
•BC+
1
n
•CD=
n-1
n
•AB，
∴BC+CD=（n-1）AB，
故当AE=
1
n
AD（n＞2）时，BC+CD=（n-1）AB．
点评：本题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质．关键是构造平行线，由特殊到一般探索规律．
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5
3
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3
5
DC．精英家教网
（1）在图上画出点C和点D的位置；
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；AD=
 
；（用含x的代数式表示）
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12
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精英家教网如图，已知线段AB，延长AB至C，使得BC=
1
2
AB，若D是BC的中点，CD=2cm，则AC的长等于（　　）
A、4cmB、8cm
C、10cmD、12cm

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