题目内容
（本题满分12分）如图，抛物线y=－
+
+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．
（1）点A的坐标为_______ ，点C的坐标为_______ ；
（2）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个?
（1）A（0,4） C（8,0）；（2）
（0，4）
、
（8-2
，）；（3）S=16．
【解析】
试题分析：（1）根据x=0和y=0分别求出点A和点C的坐标；（2）首先求出点D的坐标，CD的长度和直线AC的解析式，然后分DE=DC，DE=EC和DC=EC三种情况分别求出点E的坐标；（3）首先设出点P和点Q的坐标，然后列出面积的函数关系式，然后进行求解．
试题解析：（1）A（0,4） C（8,0）
（2）易得D（3，0），CD=5， 设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，则：
解得：
； ∴y=-
x+4；
①DE=DC时，
∵OA=4，OD=3， ∴DA=5， ∴（0，4）；
②过E点作EG⊥x轴于G点，当DE=EC时，由DG=
，
把x=OD+DG=3+
=
代入到y=-x+4，求出y=
， 可得；
③当DC=EC时，如图，过点E作EG⊥CD， 则△CEG∽△CAO，
∴
，又OA=4，OC=8，则AC=4，DC=EC=5， ∴EG=，CG=2，
∴（8-2，）；
综上所述，符合条件的E点共有三个：（0，4）、（8-2，）
（3）如图，过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC与点Q；
设P（m，-
+
m+4），则Q（m，-m+4）．
①当0＜m＜8时，
PQ=（-+m+4）-（-m+4）=-+2m，
S=
+
=×8×（-+2m）=-
+16， ∴0＜S≤16；
②当-2≤m＜0时，
PQ=（-m+4）-（-+m+4）=－2m，
S=-=×8×（－2m）=-16，
∴0＜S＜20；
∴当0＜S＜16时，0＜m＜8中有m两个值，-2＜m＜0中m有一个值，此时有三个；
当16＜S＜20时，-2＜m＜0中m只有一个值；
当S=16时，m=4或m=4-4
这两个． 故当S=16时，相应的点P有且只有两个．
考点：二次函数的性质、等腰三角形的性质．
考点分析： 考点1：二次函数 定义：一般地，如果
（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。 ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
②二次函数
（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。③二次函数
（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：
（a，b，c是常数，a≠0）； （2）顶点式：
（a，h，k是常数，a≠0） （3）当抛物线
与x轴有交点时，即对应二次好方程
有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式
，二次函数
可转化为两根式
。如果没有交点，则不能这样表示。 二次函数的一般形式的结构特征：
①函数的关系式是整式；
②自变量的最高次数是2；
③二次项系数不等于零。 二次函数的判定：
二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
当b=0，c=0时，y=ax2是特殊的二次函数；
判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成
（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。
试题属性
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