Question

如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为（1,0），将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到，使得，得到线段；又将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到，使得，得到线段，如此下去，得到线段，，…，．

（1）写出点的坐标；

（2）求的周长；

（3）我们规定：把点（0,1,2,3…）的横坐标，纵坐标都取绝对值后得到的新坐标称之为点的“绝对坐标”．根据图中点的分布规律，请你猜想点的“绝对坐标”，并写出来．

Answer 1

解：（1）M₅（―4，―4）

（2）由规律可知，,，…

    ∴的周长

（3）由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或轴或轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，点的“绝对坐标”可分三类情况：

令旋转次数为

①     当点M在x轴上时: M₀（），M₄（），M₈（），M₁₂（）,，

即：点的“绝对坐标”为（）。

②     当点M在y轴上时: M₂，M₆，M₁₀，M₁₄,，

即：点的“绝对坐标”为。当点M在各象限的分角线上时：M₁，M₃，M₅，M₇,……，即：的“绝对坐标”为。