Question

如图，已知抛物线y=a(x-1)2-

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与x轴交于A，B两点（A在左边），抛物线经过点D（5，-3），顶点为M．
（1）写出M点的坐标，并指出函数y有最大值还是最小值？这个值是多少？
（2）求a的值；
（3）以AB为直径画⊙P，试判定点D与⊙P的位置关系，并证明．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数顶点式求法直接的出二次函数的顶点坐标以及二次函数的最值；
（2）把D（5，-3）代入y=a(x-1)2-

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，直接求出a的值；
（3）首先求出二次函数与x轴的交点坐标，进而求出P点的坐标，得出PE=4，DE=3，从而得出PD的长，判断出D与⊙P的位置关系．

解答：解：（1）∵抛物线y=a(x-1)2-

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，
∴顶点为M（1，-

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），
函数y有最小值是-

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；

（2）把D（5，-3）代入y=a(x-1)2-

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得：a=

1

3

；

（3）结论：点D在⊙P上，
∵y=

1

3

(x-1)2-

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令y=0，得：x₁=-4，x₂=6，
∴A（-4，0），B（6，0），
∴AB=10，
∵AB为⊙P的直径，
∴P（1，0），
∴⊙P的半径r=5，
过点D作DE⊥x轴，垂足为点E，则E（5，0）
∴PE=5-1=4，DE=3，
∴PD=

PE2+DE2

=5，
∴PD与⊙P的半径相等，
∴点D在⊙P上．

点评：此题主要考查了二次函数的最值以及顶点式和点与圆的位置关系等知识，判定点与圆的位置关系得出点与圆心距离等于半径是解决问题的关键．