Question

使得5×2^m+1是完全平方数的整数m的个数为

1

．

Answer 1

分析：由5×2^m+1是完全平方数，可设5×2^m+1=n² （其中n为正整数），可得5×2^m=n²-1=（n+1）（n-1），即可得n为奇数，然后设n=2k-1（其中k是正整数），即可得方程组

k=5×2m-2 k-1=1

或

k=5 k-1=2m-2

或

k=2m-2 k-1=5

，解方程组即可求得答案．

解答：解：设5×2^m+1=n² （其中n为正整数），
则5×2^m=n²-1=（n+1）（n-1），
∵5×2^m是偶数，
∴n为奇数，
设n=2k-1（其中k是正整数），
则5×2^m=4k（k-1），
即5×2^m-2=k（k-1）．
显然k＞1，
∵k和k-1互质，
∴

k=5×2m-2 k-1=1

或

k=5 k-1=2m-2

或

k=2m-2 k-1=5

，
解得：k=5，m=4．
因此，满足要求的整数m只有1个．
故答案为：1．

点评：此题考查了完全平方数的知识．此题难度较大，解题的关键是将原式变形，可得5×2^m=n²-1=（n+1）（n-1），然后得到n为奇数，则可设n=2k-1（其中k是正整数），从而得到方程组．