Question

【题目】如图，在△ABC中，∠A=75°，∠C=45°，BC=4，点M是AC边上的动点，点M关于直线AB、BC的对称点分别为P、Q，则线段PQ长的取值范围是______．

Answer 1

【答案】2≤PQ≤4

【解析】

根据题意连接BP、BQ、BM，过点B作BD⊥PQ于点D，由对称性可知PB=BM=BQ、△PBQ为等腰三角形，进而即可得出PD=PB，再根据BM的取值范围即可得出线段PQ长的取值范围．

解：∵∠A=75°，∠C=45°，

∴∠ABC=180°-75°-45°=60°，

连接BP、BQ、BM，过点B作BD⊥PQ于点D，如图所示．

∵点M关于直线AB、BC的对称点分别为P、Q，

∴BP=BQ=BM，∠PBA=∠MBA，∠MBC=∠QBC，

∴∠PBQ=120°，

∵PB=BQ，

∴∠BPQ=∠BQP=30°，

∴cos30°==，

∴PD=PB，

∵BC=4，∠C=45°，

∴2≤BM≤4，

∵BM=PB，

∴2≤PB≤4，

∴2≤PD≤4×，即≤PD≤2，

∵PQ=2PD，

∴2≤PQ≤4．

故答案为：2≤PQ≤4．