Question

【题目】已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E．

（1）特例感知 如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：AP＝AC；

（2）变式求异 如图2，若∠C＝90°，m＝6，AD＝7，过点D作DH⊥AC于点H，求DH和AP的长；

（3）化归探究 如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2），4或3；（3）6≤a＜.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质，运用等边三角形内角都为60°以及三边相等进行求解．

（2）根据相似三角形的性质，运用对应边成比例以及勾股定理进行求解．

（3）根据三角函数以及三线合一性质，运用勾股定理以及比例关系进行求解．

（1）证明：∵AC＝BC，∠C＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC＝AB，∠A＝60°，

由题意，得DB＝DP，DA＝DB，

∴DA＝DP，

∴△ADP使得等边三角形，

∴AP＝AD＝AB＝AC．

（2）解：∵AC＝BC＝6，∠C＝90°，

∴AB＝＝＝12，

∵DH⊥AC，

∴DH∥BC，

∴△ADH∽△ABC，

∴＝，

∵AD＝7，

∴＝，

∴DH＝，

将∠B沿过点D的直线折叠，

情形一：当点B落在线段CH上的点P1处时，如图2﹣1中，

∵AB＝12，

∴DP1＝DB＝AB﹣AD＝5，

∴HP1＝＝＝，

∴A1＝AH+HP1＝4，

情形二：当点B落在线段AH上的点P2处时，如图2﹣2中，

同法可证HP2＝，

∴AP2＝AH﹣HP2＝3，

综上所述，满足条件的AP的值为4或3．

（3）如图3中，过点C作CH⊥AB于H，过点D作DP⊥AC于P．

∵CA＝CB，CH⊥AB，

∴AH＝HB＝6，

∴CH＝＝＝8，

当DB＝DP时，设BD＝PD＝x，则AD＝12﹣x，

∵tanA＝＝，

∴＝，

∴x＝，

∴AD＝AB﹣BD＝，

观察图形可知当6≤a＜时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置．