Question

【题目】 问题：如图1，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，AC=，BC=2，求CD的长．

（1）发现：张强同学解决这个问题的思路是：将△BCD绕点D逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图2），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=CD，从而得到了AC，BC，CD三条线段之间的关系为：AC+BC=CD，从而求出CD的长是______ ；

（2）应用：如图3，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且，若AB=5，BC=4，求CD的长；

（3）拓展：如图4，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P为AB的中点，若点E满足CE=CA，点Q为AE的中点，直接写出线段PQ的长是______．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）CD=；（3）．

【解析】

（1）代入结论：AC+BC=CD，直接计算即可；

（2）如图，根据直径所对的圆周角是直角得：∠ADB=∠ACB=90°，由弧相等可知所对的弦相等，得到满足图1的条件，所以AC+BC=CD，代入可得CD的长；

（3）根据题意可知，可求出AQ长，则利用（1）的结论进行解答．

解：（1）由题意知：AC+BC=CD，

∴+2=CD，

∴CD=3；

故答案为：3；

（2）如图1，连接AC、BD、AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠ACB=90°，

∵，

∴AD=BD，

∵AB=5，BC=4，

∴由勾股定理得：AC==3，

∵AC+BC=CD，

即：3+4=CD，

∴CD=；

（3）如图2，

∵AC=BC，∠ACB=90°，

点P是AB的中点，

∴AP=CP，∠APC=90°，

又∵CA=CE，点Q是AE的中点，

∴∠CQA=90°，

∵AC=BC=2，

∵AE=，

∴AE=1，

∴AQ=，

由勾股定理可求得：CQ=，

由（1）的结论可知：AQ+CQ=PQ，

∴，

∴．

故答案为：．