Question

（1）如图1，点M，N在反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F．试证明：MN∥EF．
（2）若（1）中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图2所示，请判断MN与EF是否平行．

Answer 1

分析：（1）连接MF，NE．设点M的坐标为（x₁，y₁），点N的坐标为（x₂，y₂），由反比例函数的性质可知，
x₁y₁=k，x₂y₂=k，故可得出_△EFM=S_△EFN，再由△EFM与△NFE同底，故可得出两三角形的高必相等，故可得出结论；
（2）连接MF，NE，设点M的坐标为（x₁，y₁），点N的坐标为（x₂，y₂），由反比例函数的性质可知，
x₁y₁=k，x₂y₂=k，故可得出_△EFM=S_△EFN，再由△EFM与△NFE同底，故可得出两三角形的高必相等，故可得出结论．

解答：（1）证明：如图1，连接MF，NE．
设点M的坐标为（x₁，y₁），点N的坐标为（x₂，y₂）．
∵点M，N在反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象上，
∴x₁y₁=k，x₂y₂=k，
∵ME⊥y轴，NF⊥x轴，
∴OE=y₁，OF=x₂．
∴S_△EFM=

1

2

x₁y₁=

1

2

k，
S_△EFN=

1

2

x₂y₂=

1

2

k．
∴S_△EFM=S_△EFN．
∵△EFM与△NFE同底，
∴两三角形的高必相等，
∴MN∥EF；

（2）MN∥EF．
证明：如图2，连接MF，NE，设点M的坐标为（x₁，y₁），点N的坐标为（x₂，y₂）．
∵点M，N在反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象上，
∴x₁y₁=k，x₂y₂=k，
∵ME⊥y轴，NF⊥x轴，
∴OE=y₁，OF=-x₂．
∴S_△EFM=

1

2

x₁y₁=

1

2

k，
S_△EFN=

1

2

x₂y₂=

1

2

k．
∴S_△EFM=S_△EFN．
∵△EFM与△NFE同底，
∴两三角形的高必相等，
∴MN∥EF．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数系数k的几何意义是解答此题的关键．