题目内容

如图，在矩形ABCD中，AB= $数学公式$ ，BC=9，点P是边CD上的动点（点P不与点C、点D重合），过点P作直线PQ∥AC，交AD边于点Q，再把△DPQ沿着动直线PQ对折，点D的对应点是点E，设DP的长度为x，△EPQ与矩形ABCD重叠部分的面积为y．
（1）求∠DQP的度数；
（2）当x取何值时，点E落在矩形ABCD的边BC上？
（3）求y与x之间的函数关系式．

解：（1）∵PQ∥AC，
∴∠DQP=∠DAC，
∵矩形ABCD，
∴AB=CD= $\text{[math]}$ ，AD=BC=9，∠D=90°，
Rt△ADC中，tan∠DAC= $\text{[math]}$ ，
∴∠DAC=30°，
∴∠DQP=30°；

（2）如图，由折叠得△DPQ≌△EPQ

，
∴∠DPQ=∠EPQ，PD=PE=x，
∵∠DQP=30°，∠D=90°，
∴∠DPQ=∠EPQ=60°，
∴∠EPC=60°，
Rt△PEC中，PE=x，∠EPC=60°，
∴PC= $\text{[math]}$ PE= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴当 $\text{[math]}$ 时，点E落在矩形ABCD的边BC上；

（3）当0＜x≤ $\text{[math]}$ 时，点E落在矩形ABCD的内部或BC边上，
△EPQ与矩形ABCD重叠部分为△EPQ，
∴y=S_△EPQ=S_△DPQ= $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ ＜x＜ $\text{[math]}$ 时，点E落在矩形ABCD的外部

，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴y=S_△EPQ-S_△EMN= $\text{[math]}$ ，
= $\text{[math]}$ ，
（0＜x≤ $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ ＜x＜ $\text{[math]}$ ），
= $\text{[math]}$ ，
∴y= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用PQ∥AC，Rt△ADC中，tan∠DAC= $\text{[math]}$ ，从而求出角度，
（2）由折叠得△DPQ≌△EPQ，PE=x，PC= $\text{[math]}$ PE= $\text{[math]}$ ，再求出x，
（3）利用三角形面积之间的关系求出．
点评：此题主要考查了图形的折叠问题，以及三角函数值问题和求函数解析式问题，综合性较强．