题目内容

如图，某学校欲建一个喷泉水池，底面是半径为4m的正六边形，池底是水磨石地面，所要用的磨光机是半径为2dm的圆形砂轮，磨池底时，磨头磨不到的正六边形的部分为（单位：dm²）

A.
2400 $数学公式$ -1200π
B.
8 $数学公式$ -400π
C.
8 $数学公式$ - $数学公式$ π
D.
24 $数学公式$ - $数学公式$ π

B
分析：当圆形砂轮与正六边形的两边相切时，图形DCB不能被磨到，则不能磨到的面积为两个三角形的和减去扇形ABC的面积．这样的面积有6个，求出CABD的面积，再乘以6即可得到．
解答：

解：如图，
AC=AB=2m=20dm，∠CDB=120°，切点分别为C，B点，
则∠ACD=∠ABD=90°，由切线长定理知，CD=BD；
∴△ACD≌△ABD，∠CAD=∠BAD=30°，BD=ABtan30°= $\text{[math]}$ dm，
∴不能磨到的总面积=6（2× $\text{[math]}$ ×20× $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=8 $\text{[math]}$ -400π（dm²）．
故选B．
点评：本题利用了切线的性质，正六边形的性质，三角形和扇形的面积公式求解．