Question

如图，某学校欲建一个喷泉水池，底面是半径为4m的正六边形，池底是水磨石地面，所要用的磨光机是半径为2dm的圆形砂轮，磨池底时，磨头磨不到的正六边形的部分为（单位：dm²）（　　）

• A、2400

  3

  -1200π
• B、8

  3

  -400π
• C、8

  3

  -

  2

  3

  π
• D、24

  3

  -

  2

  3

  π

Answer 1

分析：当圆形砂轮与正六边形的两边相切时，图形DCB不能被磨到，则不能磨到的面积为两个三角形的和减去扇形ABC的面积．这样的面积有6个，求出CABD的面积，再乘以6即可得到．

解答：解：如图，
AC=AB=2dm，∠CDB=120°，切点分别为C，B点，
则∠ACD=∠ABD=90°，由切线长定理知，CD=BD；
∴△ACD≌△ABD，∠CAD=∠BAD=30°，BD=ABtan30°=

2 3

3

dm，
∴不能磨到的总面积=6（2×

1

2

×2×

2 3

3

-

60π×4

360

）=8

3

-

2

3

π（dm²）．
故选：C．

点评：本题利用了切线的性质，正六边形的性质，三角形和扇形的面积公式求解．