Question

如图，正比例函数y=

1

2

x的图象与反比例函数y=

k

x

（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△AOM的面积为1，点B（-1，t）为反比例函数在第三象限图象上的点．
（1）试求出k及点B的坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使AB=AP，请直接写出满足条件的点P的坐标．
（3）在y轴上找一点P，使|PA-PB|的值最大，求出P点坐标．

Answer 1

分析：（1）根据反比例函数的比例系数的几何意义得到

1

2

k=1，解得k=2，则反比例函数的解析式为y=

2

x

，然后把B（-1，t）代入y=

2

x

即可确定B点坐标；
（2）先解方程组

y= 1 2 x y= 2 x

可确定A点坐标为（2，1），设P点坐标为（a，0），利用两点间的距离公式得到

(2-a)2+(1-0)2

=3

2

，然后解方程求出a，确定P点坐标；
（3）作B点关于y轴的对称点C，如图，则C点坐标为（1，-2），PB=PC，根据三三角形三边的关系得到|PA-PB|=|PA-PC|≤AC（当点P、C、A共线时，取等号），所以，PA-PB|的值为AC，然后利用待定系数法求出直线AC的解析式，再确定该直线与y轴的交点坐标，即P点坐标．

解答：解：（1）∵△AOM的面积为1，
∴

1

2

k=1，解得k=2，
∴反比例函数的解析式为y=

2

x

，
把B（-1，t）代入y=

2

x

得-t=2，解得t=-2，
∴B点坐标为（-1，-2）；

（2）存在．
解方程组

y= 1 2 x y= 2 x

得

x=2 y=1

或

x=-2 y=-1

，则A点坐标为（2，1），
∴AB=

(2+1)2+(1+2)2

=3

2

，
设P点坐标为（a，0），
∴AP=

(2-a)2+(1-0)2

，
∵AB=AP，
∴

(2-a)2+(1-0)2

=3

2

，解得a₁=2+

17

，a₂=2-

17

，
∴满足条件的点P的坐标为（2+

17

，0），（2-

17

，0）；

（3）作B点关于y轴的对称点C，如图，则C点坐标为（1，-2），
∴PB=PC，
∴|PA-PB|=|PA-PC|≤AC，
∴当点P、C、A共线时，|PA-PB|的值最大，
设直线AC的解析式为y=mx+n，
把A（2，1）、C（1，-2）代入得

2m+n=1 m+n=-2

，解得

m=3 n=-5

，
∴直线AC的解析式为y=3x-5，
把x=0代入y=3x-5得y=-5，
∴P点坐标为（0，-5）．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和待定系数法求函数解析式；熟练运用两点间的距离公式计算线段的长．