Question

如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，一直角三角尺PQR的直角顶点P在对角线AC上移动，直角边PQ经过点D，另一直角边与射线BC交于点E．
（1）试判断PE与PD的大小关系，并证明你的结论；
（2）连接PB，试证明：△PBE为等腰三角形．

Answer 1

（1）解：PE=PD．
证明：过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F．
如图所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，△AGP和△PFC都是等腰直角三角形，
∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°；
又∵∠1+∠3=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2；
又PF=GD，∠PFE=∠PGD=90°，
∴Rt△EFP≌Rt△PGD（ASA），
∴PE=PD；

（2）证明：∵AD=AB，∠PAB=∠PAD=45°，AP=AP，
∴△APB≌△APD（SAS），
∴PB=PD，
∴PE=PB，
∴△PBE为等腰三角形．
分析：（1）作辅助线：过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F，构建全等三角形Rt△EFP≌Rt△PGD（ASA），然后由全等三角形的对应边相等证明PE=PD；
（2）由正方形的四条边相等，对角线平分对角的性质证明△APB≌△APD（SAS），然后由全等三角形的对应边相等证明PB=PD；利用（1）的结论，由等量代换证明PE=PB，即△PBE为等腰三角形；
点评：本题综合考查了正方形的性质、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质．解答此题的关键是通过作辅助线：过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F，构建全等三角形Rt△EFP≌Rt△PGD（ASA）．