Question

【题目】如图1，在等边三角形中，为中线，点在线段上运动，将线段绕点顺时针旋转，使得点的对应点落在射线上，连接，设（且）．

（1）当时，

①在图1中依题意画出图形，并求（用含的式子表示）；

②探究线段，，之间的数量关系，并加以证明；

（2）当时，直接写出线段，，之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）

【解析】

（1）①先根据等边三角形的性质的，进而得出，最后用三角形的内角和定理即可得出结论；②先判断出，得出，再判断出是底角为30度的等腰三角形，再构造出直角三角形即可得出结论；（2）同②的方法即可得出结论．

（1）当时，

①画出的图形如图1所示，

∵为等边三角形，

∴．

∵为等边三角形的中线

∴是的垂直平分线，

∵为线段上的点，

∴．

∵，

∴，．

∵线段为线段绕点顺时针旋转所得，

∴．

∴．

∴，

∴；

②；

如图2，延长到点，使得，连接，作于点．

∵，点在上，

∴．

∵点在的延长线上，，

∴．

∴．

又∵，，

∴．

∴．

∵于点，

∴，．

∵在等边三角形中，为中线，点在上，

∴，

即为底角为的等腰三角形．

∴．

∴．

（2）如图3，当时，

在上取一点使，

∵为等边三角形，

∴．

∵为等边三角形的中线，

∵为线段上的点，

∴是的垂直平分线，

∴．

∵，

∴，．

∵线段为线段绕点顺时针旋转所得，

∴．

∴．

∴，

又∵，，

∴．

∴．

∵于点，

∴，．

∵在等边三角形中，为中线，点在上，

∴，

∴．

∴．