Question

如图1，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，=，BE分别交AD、AC于点F、G。

（1）判断△FAG的形状，并说明理由；

（2）如图2，若点E和点A在BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若BG=10，BD﹣DF=1，求AB的长．

Answer 1

解：（1）等腰三角形；

∵BC为直径，AD⊥BC，∴∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠C，

∵=，∴∠ABE=∠C，∴∠ABE=∠BAD，∴AF=BF，

∵∠BAD+∠CAD=90°，∠ABE+∠AGB=90°，∴∠DAC=∠AGB，∴FA=FG，

∴△FAG是等腰三角形；

（2）成立；

∵BC为直径，AD⊥BC，∴∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠C，

∵=，∴∠ABE=∠C，∴∠ABE=∠BAD，∴AF=BF，

∵∠BAD+∠CAD=90°，∠ABE+∠AGB=90°，∴∠DAC=∠AGB，∴FA=FG，

∴△FAG是等腰三角形；

（3）由（2）得：AF=BF=FG，∵BG=10，∴FB=5，

∴，解得：BD=4，DF=3，∴AD=2，∴AB==2．