Question

已知：如图，C为半圆O上一点， AC= CE，过点C作直径AB的垂线CP，弦AE分别交PC、CB于点D、F.

（1）       求证：AD=CD；

（2）       若DF=，∠CAE=30°，求阴影部分的面积.

 

Answer 1

(1)证明:∵弧AC=弧CE

∴ ∠CAE=∠B.

∵CP⊥AB,

∴∠CPB=90°.

∴∠B+∠BCP=90°.

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°.

∴∠ACP+∠BCP=90°

∴∠B=∠ACP.

∴∠CAE=∠ACP. 

∴AD=CD.

（2）解：连结OC.

       ∵∠CAE=30°,

       ∴∠ACD=30°,∠COA=60°.

       ∴∠CDF=60°.

∵AB是直径，∴∠ACB=90°.

       ∴∠BCP=60°.

       ∴∠BCP=∠DCF=∠CFD=60°.

      ∴AD=CD=DF=

∵OA=OC, ∴△AOC是等边三角形.

       ∴∠CAO=60°.

       ∴∠DAP=30°.

∵CP⊥OA,

       ∴AP=ADcos30°=2

∴OA=2AP=4.

        ∴DP=ADsin30°=

       ∴CP=CD+DP=2

∴S_阴影=S_扇形-S_△AOC=-=