Question

15．如图，△ABC内接于⊙O，∠A的度数为60°，∠ABC、∠ACB的角平分线分别交于AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F．以下四个结论：①cos∠BFE=$\frac{1}{2}$；②BC=BD；③EF=FD；④BF=2DF．其中结论一定正确的序号数是（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ③④
• D． ②④

Answer 1

分析 ①正确．只要证明∠BFE=60°即可；
②错误．利用反证法，假设成立．推出矛盾即可．
③正确．作FW⊥AC，FS⊥AB只要证明△FSE≌△WFD即可．
④错误．BF=DF是重心的性质，内心不一定成立．

解答 解：∵∠A=60°
∴∠ABC+∠BCA=180°-∠A=120°
∵∠ABC、∠ACB的角平分线分别是BD，CE
∴∠CBF+∠BCF=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠BCA）=60°=∠BFE
∴cos∠BFE=$\frac{1}{2}$，
∴即cos∠BFE=$\frac{1}{2}$；故①正确；
∵∠BDC=∠A+$\frac{1}{2}$∠ABC=60°+∠DBA
∠BCA=180°-∠A-2∠DBA=120°-2∠DBA
若BC=BD成立，则应有∠BDC=∠BCA
应有60°+∠DBA=120°-2∠DBA，
即∠DBA=20°，
此时∠ABC=40°，
∴∠BCD=∠BDC=80°，
而根据题意，没有条件可以说明∠ABC是40°，
故②错误；
∵点F是△ABC内心，作FW⊥AC，FS⊥AB
则FW=FS，∠FSE=∠FWD=90°∠EFD=∠SFW=120°
∴∠SFE=∠WFD，△FSE≌△WFD
∴FD=FE，故③正确；
由于点F是内心而不是各边中线的交点，故BF=2DF不一定成立，因此④不正确．
因此本题正确的结论为①③．
故选B．

点评 本题利用了三角形内角和定理，余弦的概念，角的平分线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．