Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，-）．
（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；
（2）在抛物线上求点P，使S_△POA=2S_△AOB；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据函数经过原点，可得c=0，然后根据函数的对称轴，及函数图象经过点（3，-）可得出函数解析式，根据二次函数的对称性可直接得出点A的坐标．
（2）根据题意可得点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2，代入函数解析式可得出点P的横坐标；
（3）分情况讨论，①点Q与点B重合可直接得出点Q的坐标；②点Q不与点B重合，先求出∠BOA的度数，然后可确定∠Q₁OA=的度数，继而利用解直角三角形的知识求出x，得出Q₁的坐标，利用二次函数图象函数的对称性可得出Q₂的坐标．
解答：解：（1）由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax²+bx（a≠0），
又∵函数的顶点坐标为（3，-），
∴，
解得：，
故函数解析式为：y=x²-x，
由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为（6，0）；

（2）∵S_△POA=2S_△AOB，

∴点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2，
代入函数解析式得：2=x²-x，
解得：x₁=3+3，x₂=3-3，
即满足条件的点P有两个，其坐标为：P₁（3+3，2），P₂（3-3，2）．

（3）存在．
①当点Q与点B重合时，满足△AQO与△AOB相似，
此时点Q的坐标为（3，-）；

②当点Q与点B不重合时，
过点B作BP⊥OA，则tan∠BOP==，
故可得∠BOA=30°，
设Q₁坐标为（x，x²-x），过点Q₁作Q₁F⊥x轴，
∵△OAB∽△OQ₁A，
∴∠Q₁OA=30°，
故可得OF=Q₁F，即x=（x²-x），
解得：x=9或x=0（舍去），
经检验得此时OA=AQ₁，△OQ₁A是等腰三角形，且和△OBA相似．
即可得Q₁坐标为（9，3），
根据函数的对称性可得Q₂坐标为（-3，3）．
∴在抛物线上存在点Q，使△AQO与△AOB相似，其坐标为：（3，-）或（9，3）或（-3，3）．
点评：此题属于二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质，三角形的面积及一元二次方程的解，综合性较强，需要我们仔细分析，分步解答．