Question

【题目】如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．

（1）探究线段BE、BF和DB之间的数量关系，写出结论并给出证明；

（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC=60，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．

①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；

②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M．若BE=1，AB=2，直接写出线段GM的长度．

Answer 1

【答案】（1），证明见解析；（2）①，证明见解析；②

【解析】

（1）根据旋转的性质可证得△BDG是等腰直角三角形，得到，再证明△FDG≌△EDB（ASA），得到FG=BE即可得到；

（2）①根据菱形的性质以及旋转的性质可得∠DBG=∠G=30°，从而证明△EDB≌△FDG（ASA），得到BF+BE=BF+FG=BG，过点D作DP⊥BG于点P，利用勾股定理及等腰三角形的性质得到BG=，从而得出即可；
②过点A作AN⊥BD交BD于点N，根据含30°直角三角形的性质及等腰三角形的性质，计算BD和BF的长，根据平行线分线段成比例定理可得BM的长，根据线段的差可得结论．

解：（1），

理由：由旋转可知，∠BDE=∠FDG，∠BDG=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠CBD=45°，

∴∠G=45°，

∴∠G=∠CBD=45°，

∴BD=DG，

△BDG是等腰三角形，

∴，

∵在△FDG与△EDB中，

∠FDG=∠EDB，∠G=∠DBE=45°，BD=DG，

∴△FDG≌△EDB（ASA），

∴FG=BE

∴BE+BF=FG+BF=BG=，

∴

（2）①

理由：如图2，在菱形ABCD中，∠ADB=∠CDB=∠ADC=30°，

由旋转120°可知，∠EDF=∠BDG=120°，∠EDB=∠FDG，

在△DBG中，∠G=180°-120°-30°=30°，

∴∠DBG=∠G=30°，

DB=DG，

∴△EDB≌△FDG（ASA），

∴BE=FD，

∴BF+BE=BF+FG=BG，

过点D作DP⊥BG于点P，

∵BD=DG，∴BG=2BP，

∵∠DBC=30°，

∴DP=，

∴在Rt△BDP中，，

∴BG=

∴

②如图3，过点A作AN⊥BD交BD于点N，

在Rt△ABN中，∠ABN=30°，AB=2，

∴AN=1，BN=，

∴BD=2BN=2，

∵DC∥BE，

∴，

∵CM+BM=2，

∴BM=，

Rt△BDP中，∠DBP=30°，BD=2，

∴BP=3

由旋转得：BD=FD，

∴BF=2BP=6，

∴GM =BG-BM=6+1-=．