Question

如图，MN是⊙O的直径，点A是弧的中点，⊙O的弦AB交直径MN于点C，且∠ACO=2∠CAO
（1）求∠CAO的度数；
（2）若⊙O的半径长为，求AB的长．

Answer 1

解：（1）∵MN是⊙O的直径，点A是弧的中点，
∴∠AOM=×360°=90°，
∴∠ACO+∠CAO=90°，
∵∠ACO=2∠CAO，
∴3∠CAO=90°，解得∠CAO=30°；

（2）过点O作OD⊥AB于点D，
∵点O是圆心，
∴AD=AB，
在Rt△AOD中，
∵OA=，∠CAO=30°，
∴AD=OA•cos30°=×=，
∴AB=2AD=2×=3．
分析：（1）先根据圆心角、弧、弦的关系判断出∠AOC的度数，再根据直角三角形两角互补的性质求出∠CAO的度数即可；
（2）过点O作OD⊥AB，由垂径定理可知AD=AB，在Rt△AOD中由锐角三角函数的定义可求出AD的长，故可得出结论．
点评：本题考查的是垂径定理及圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．