Question

（2012•静安区二模）如图，一次函数y=x+1的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B．二次函数的图象与y轴的正半轴相交于点C，与这个一次函数的图象相交于点A、D，且sin∠ACB=

10

10

．
（1）求点C的坐标；
（2）如果∠CDB=∠ACB，求这个二次函数的解析式．

Answer 1

分析：（1）先求出A点坐标为（-1，0），B点坐标为（0，1），则OA=1，OB=1，AB=

2

，再根据正弦的定义得sin∠ACB=

OA

AC

=

10

10

，而AO=1，则AC=

10

，然后根据勾股定理可计算出OC=3，从而确定点C的坐标为（0，3）；
（2）分类讨论：当点D在AB延长线上时，如图1，过点D作DE⊥x 轴，垂足为E，由于∠CDB=∠ACB，∠BAC=∠CAD，根据相似的判定得△ABC∽△ACD，则AD：AC=AC：AB，即AD：

10

=

10

：

2

，
可计算出AD=5

2

，易得ADE为等腰直角三角形，则DE=AE=

2

2

AD=

2

2

×5

2

=5，OE=4，得到点D的坐标为（4，5），然后设一般式，利用待点系数法求过A（-1，0）、C（0，3）、D（4，5）的二次函数的解析式；当点D在射线BA上，如图2，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，与前面的解法相同．

解答：解：（1）对于y=x+1，令y=0，则x=-1；x=0，则y=1，
∴A点坐标为（-1，0），OA=1；B点坐标为（0，1），OB=1，
∴AB=

2

，
在Rt△AOC中，∵sin∠ACB=

OA

AC

=

10

10

，OA=1，
∴AC=

10

，
∴OC=

AC2-AO2

=

10-1

=3，
∴点C的坐标为（0，3）；
（2）当点D在AB延长线上时，如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，
∵∠CDB=∠ACB，∠BAC=∠CAD，
∴△ABC∽△ACD，
∴AD：AC=AC：AB，即AD：

10

=

10

：

2

，
∴AD=5

2

，
∵DE∥BO，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴DE=AE=

2

2

AD=

2

2

×5

2

=5，
∴OE=4，
∴点D的坐标为（4，5），
设二次函数的解析式为y=ax²+bx+3，
∴

0=a-b+3 5=16a+4b+3

，
∴解得

a=- 1 2 b= 5 2 .

，
∴二次函数解析式为y=-

1

2

x²+

5

2

x+3；
当点D在射线BA上，如图2，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，
∵∠CDB=∠ACB，∠CBA=∠DBC，
∴△BAC∽△BCD，
∴BC：BD=BA：BC，即2：BD=

2

：2，
∴BD=2

2

，
∴AD=DB-AB=2

2

-

2

=

2

，
∵△ADE为等腰直角三角形，
∴DE=AE=

2

2

AD=

2

2

×

2

=1
∴OE=OA+AE=2，
∴点D的坐标为（-2，-1），
设二次函数的解析式为y=ax²+bx+3，
把D（-2，-1），A（-1，0）代入得

4a-2b+3=-1 a-b+3=0

，解得

a=1 b=4

，
∴二次函数解析式为y=x²+4x+3．

点评：本题考查了二次函数综合题：熟练运用待定系数法求二次函数的解析式；运用相似三角形的判断与性质、勾股定理和等腰直角三角形的性质计算有关线段的长度；正确运用分类讨论的思想．