Question

（2012•静安区二模）如图，点A、B、C在半径为2的⊙O上，四边形OABC是菱形，那么由

BC

和弦BC所组成的弓形面积是

2

3

π-

3

．

Answer 1

分析：连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由

BC

和弦BC所组成的弓形面积=

1

2

（S_扇形AOC-S_菱形ABCO）．

解答：解：连接OB和AC交于点D，如图所示：
∵圆的半径为2，
∴OB=OA=OC=2，
又四边形OABC是菱形，
∴OB⊥AC，OD=

1

2

OB=1，
在Rt△COD中利用勾股定理可知：CD=

22-12

=

3

，AC=2CD=2

3

，
∵sin∠COD=

CD

OC

=

3

2

，
∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，
∴S_菱形ABCO=

1

2

OB×AC=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
S_扇形AOC=

120π•22

360

=

4π

3

，
则由

BC

和弦BC所组成的弓形面积=

1

2

（S_扇形AOC-S_菱形ABCO）=

1

2

（

4π

3

-2

3

）=

2

3

π-

3

．
故答案为：

2

3

π-

3

．

点评：本题考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的面积=

1

2

a•b（a、b是两条对角线的长度）；扇形的面积=

nπR2

360

，有一定的难度．