题目内容

（2012•兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=-
b
a
，x1•x2=
c
a
．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：AB=|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
(-
b
a
)2-
4c
a
=
b2-4ac
a2
=
b2-4ac
|a|
；
参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．
（1）当△ABC为直角三角形时，求b2-4ac的值；
（2）当△ABC为等边三角形时，求b2-4ac的值．
分析：（1）当△ABC为直角三角形时，由于AC=BC，所以△ABC为等腰直角三角形，过C作CE⊥AB于E，则AB=2CE．根据本题定理和结论，得到AB=
b2-4ac
|a|
，根据顶点坐标公式，得到CE=|
4ac-b2
4a
|=
b2-4ac
4a
，列出方程，解方程即可求出b2-4ac的值；
（2）当△ABC为等边三角形时，解直角△ACE，得CE=
3
AE=
3
2
AB，据此列出方程，解方程即可求出b2-4ac的值．
解答：解：（1）当△ABC为直角三角形时，过C作CE⊥AB于E，则AB=2CE．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b2-4ac＞0，则|b2-4ac|=b2-4ac．
∵a＞0，∴AB=
b2-4ac
|a|
=
b2-4ac
a
，
又∵CE=|
4ac-b2
4a
|=
b2-4ac
4a
，
∴
b2-4ac
a
=2×
b2-4ac
4a
，
∴
b2-4ac
=
b2-4ac
2
，
∴b2-4ac=
(b2-4ac)2
4
，
∵b2-4ac＞0，
∴b2-4ac=4；

（2）当△ABC为等边三角形时，
由（1）可知CE=
3
2
AB，
∴
b2-4ac
4a
=
3
2
×
b2-4ac
a
，
∵b2-4ac＞0，
∴b2-4ac=12．
点评：本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理，综合性较强，难度中等．
练习册系列答案
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-
2
≤x≤
2
且x≠0
-
2
≤x≤
2
且x≠0
．
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3
x
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2
3
2
3
．
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5
2
，DE=2，求AD的长．

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