题目内容
7．（1）如图①，△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．图中有5个等腰三角形．猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．（2）如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中有2个等腰三角形．
它们是△BEO，△CFO．EF与BE、CF间的关系是EF=BE+CF．
（3）如图③，若△ABC中∠ABC的平分线与三角形外角平分线交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中有2个等腰三角形．EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．
分析 （1）由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，根据平行线的性质得到∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，得到∠AEF=∠AFE，得出AE=AF，根据平行线的性质得到∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，由角平分线的定义得到∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，得到∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，得到∠OBC=∠OCB，得出OE=BE，OF=CF，OB=OC，即可得到结论．
（2）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE=OE，CF=OF即可得出EF与BE、CF之间的关系；
（3）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE=OE，CF=OF即可得出EF与BE、CF之间的关系．
解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴BE=OE，OF=CF，
∴△ABC，△AEF，△BOC，△BEO，△CFO是等腰三角形；
故答案为：5；
猜想：EF=BE+CF；理由如下：
∵BE=OE，OF=CF，
∴EF=OE+OF=BE+CF；
（2）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴BE=OE，CF=OF，
∴△BEO和△CFO是等腰三角形；
即图中等腰三角形有△BEO，△CFO；
EF与BE、CF之间的关系是EF=BE+CF，
理由是：∵BE=OE，CF=OF
∴EF=BE+CF；
故答案为：2；△BEO，△CFO；EF=BE+CF．
（3）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACG，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCG，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCG，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴BE=OE，CF=OF，
∴△BEO和△CFO是等腰三角形
即图中等腰三角形有△BEO，△CFO；
故答案为：2；
EF与BE、CF之间的关系是EF=BE-CF，
理由是：∵BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE-OF=BE-CF．
点评 此题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解本题的关键．
在△ABC中，AB＞BC，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E．（1）若∠A=50°，求∠EBC的度数；
（2）若△ABC的周长为40cm，一边长为15cm，求△BCE的周长．
| A． |  | B． |  | C． |  | D． |  |