Question

【题目】（阅读材料）解方程(x－1)2－5(x－1)＋4＝0时，我们发现：先将x－1看作一个整体，然后设x－1＝y.……①，那么原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x－1＝1，则x＝2；当y＝4时，x－1＝4，则x＝5，故原方程的解为x1＝2，x2＝5.

上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，运用了“换元法”达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想．

（解决问题）

(1)请利用以上知识解方程：(3x＋5)2－4(3x＋5)＋3＝0；

(2)在△ABC中，∠C＝90°，两条直角边的长分别为a，b，斜边的长为c，且(a2＋b2)(a2＋b2＋1)＝12，求斜边c的长．

Answer 1

【答案】（1）∴x1＝－，x2＝－.（2）.

【解析】（1）先设3x＋5＝y，原方程可以变为：y24y＋3＝0，再解一道关于y的方程求出y的值，再分别代入3x＋5就可以求出x的值，即可得a2＋b2＝3；在直角三角形中用勾股定理可得c的值.

（2）先设a2＋b2＝x(x＞0)，则原方程可化为x(x＋1)＝12，解这个关于x的一元二次方程，求得x的值，

(1)设3x＋5＝y，则原方程可变形为y2－4y＋3＝0，解得y1＝1，y2＝3.

当y＝1时，3x＋5＝1，解得x＝－；

当y＝3时，3x＋5＝3，解得x＝－，

∴x1＝－，x2＝－；

(2)设a2＋b2＝x(x＞0)，则(a2＋b2 )(a2＋b2＋1)＝12可化为x(x＋1)＝12，

即x2＋x－12＝0，

解得x1＝3，x2＝－4＜0 (不合题意，舍去)，

∴a2＋b2＝3.

∵∠C＝90°，

∴a2＋b2＝c2，

∴c2＝3，

∴c＝.

答：斜边c的长为.