Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O是坐标原点，OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝5，OC＝4．

(1)如图①，将矩形沿对角线OB折叠，使得点A落在点D处，OD与CB相交于点E，请问重叠部分△OBE是什么三角形？说明你的理由：并求出这个三角形的面积；

(2)如图②，点E、F分别是OC、OA边上的点，将△OEF沿EF折叠，使得点O正好落在BC边上的D点，过点D作DH⊥OA，交EF于点G，交OA于点H，若CD＝2，求点G的坐标；

(3)如图③，照(2)中条件，当点E、F在OC、OA上移动时，点D也在边BC上随之移动，请直接写出BD的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）是等腰三角形，理由见解析；；（2）；（3）1≤BD≤3

【解析】

（1）根据折叠的性质和矩形的性质，得出，，进而得到是等腰三角形，再利用勾股定理求出EB的长，进而求面积即可；

（2）易得点G的横坐标为2，根据折叠的性质和DH⊥OA，得出，再在中利用勾股定理求出DG的长即可得到点G的纵坐标；

（3）分两种情况考虑：①当点E运动到与点C重合时；②当点F运动到与点A重合时，分别求出BD的值，即可得到BD的取值范围．

（1）是等腰三角形，理由如下：

如下图，

图形折叠

矩形

即

是等腰三角形

设，则

在中，

求得

（2）如下图，

∵图形折叠

，是等腰三角形

设，则

在中

，求得

即

（3）①当点E运动到与点C重合时，如下图：

此时，CD=OC=4，则BD=BC-CD=1；

②当点F运动到与点A重合时，如下图：

此时，AD=OA=5，在Rt△ABD中，BD===3，

∴BD的取值范围为1≤BD≤3.