题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，点
为坐标原点，抛物线
与
轴交于点
，点
，与
轴交于点
，连接
，点
在第二象限的抛物线上，连接
，线段
交线段于点
．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若
的面积为
，
的面积为
当
时，求点的坐标；
（3）已知点关于抛物线对称轴的对称点为点
，连接
，点
在轴上，当
时，
①求满足条件的所有点的坐标；
②当点在线段
上时，点
是线段
外一点，
，连接
，将线段绕着点顺时针旋转
，得到线段
，连接
，直接写出线段的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
或
；（3）①
或
；②
【解析】
（1）将点A、B坐标代入解析式解答即可；
（2）先求出点C的坐标为（0,3），过点C作CG⊥OP于G，根据
，
，
得到
，过点P作PF⊥x轴于F，过点E作EN⊥PF于N，得到
，设点P的坐标为（a，
），求出直线BC的解析式为y=x+3，得到E（
，+3），根据2PF=5PN得到5(--3)=2()，求出x值即可得到点P的坐标；
（3）①先求出抛物线的对称轴是直线x=-1，得到N（-2,3），求出直线BN的解析式为y=3x+9，分两种情况：当点H在OB之间时，由
，得到BN∥CH，得到直线CH的解析式为y=3x+3，即可求出点H的坐标为（-1,0）；当点H在点B左侧时，CH交BN于M，作直线OM，由得到BM=MC，故OM是BC的垂直平分线，求出交点M的坐标为（-
，），再求出直线CM的解析式为y=
x+3，即可得到点H的坐标为（-9,0）；②如图1，当点Q在x轴下方且MH⊥x轴时，MH最小，作QG⊥x轴，过点M作MF⊥QG于F，则四边形MHGF是矩形，证明△BQG≌△QMF，得到FM=GQ，BG=FQ，利用勾股定理求出GQ=GH=
，得到MH=FG=BG-FG=
；如图2，当点Q在x轴上方，且MH⊥x轴时，MH最大，过点Q作QG⊥x轴，QF⊥MH于F，则四边形HGQF是矩形，同理：△BGQ≌△MFQ，得到QG=FQ=HG，BG=MF，利用勾股定理求出GQ=GH=，得到MH=BG+FH=
，即可得到MH的取值范围.
（1）将点A、B的坐标代入
中，得
，解得
，
∴抛物线的表达式为；
（2）当x=0时，y=3，∴点C的坐标为（0,3），
过点C作CG⊥OP于G，
∵， ，，
∴
，
∴，
过点P作PF⊥x轴于F，过点E作EN⊥PF于N，
∴EN∥OF，
∴,
设点P的坐标为（a，），
∴OF=-a，EN=-
，
∴点E的横坐标为，
∵B（3,0），C（0,3），
∴直线BC的解析式为y=x+3，
当x=
时，y=+3，
∴E（，+3），
∵2PF=5PN，
∴5(--3)=2(),
解得
，
，
∴点P的坐标为（-1,4）或（-2,3）；
（3）①∵
，
∴抛物线的对称轴是直线x=-1，
∵点
关于抛物线对称轴的对称点为点
，C（0,3），
∴N（-2,3），
设直线BN的解析式为y=kx+b，
∴
，解得
，
∴直线BN的解析式为y=3x+9，
当点H在OB之间时，如图，
∵，
∴BN∥CH，
设直线CH的解析式为y=3x+m，将点C的坐标代入，得m=3,
∴直线CH的解析式为y=3x+3，
当y=0时，得x=-1，
∴点H的坐标为（-1,0）；
当点H在点B左侧时，如图，CH交BN于M，作直线OM，
∵，
∴BM=MC，
∵OB=OC，
∴OM是BC的垂直平分线，
∴直线OM的解析式为y=-x，
解方程组
，得
，
∴点M的坐标为（-，），
设直线CM的解析式为y=cx+n，
∴
，∴
，
∴直线CM的解析式为y=x+3，
当y=0时x=-9，∴点H的坐标为（-9,0），
综上，当时，点H的坐标为（-1,0）或（-9，0）；
②如图1，当点Q在x轴下方且MH⊥x轴时，MH最小，作QG⊥x轴，过点M作MF⊥QG于F，则四边形MHGF是矩形，
∴FM=GH，FG=MH，
∵∠BQM=∠F=90°，
∴∠BQG+∠FQM=∠FMQ+∠FQM=90°，
∴∠BQG=∠FMQ，
∵∠BGQ=∠F，BQ=MQ，
∴△BQG≌△QMF，
∴FM=GQ，BG=FQ，
∴GQ=FM=GH，
∵QH=1，
∴GQ=GH=，
∴ MH=FG=BG-FG=；
如图2，当点Q在x轴上方，且MH⊥x轴时，MH最大，过点Q作QG⊥x轴，QF⊥MH于F，则四边形HGQF是矩形，
∴FQ=HG，FH=QG，
同理：△BGQ≌△MFQ，
∴QG=FQ=HG，BG=MF，
∵QH=1，
∴GQ=GH=，
∴MH=BG+FH= ，
∴MH的取值范围是
.
