Question

【题目】已知等腰三角形ABC，AD为BC边上的高线，且有，AC上有一点E，并且满足AE：EC＝2：3，则tan∠ADE的值是__．

Answer 1

【答案】或或．

【解析】

分三种情况进行讨论：①如果AB＝AC，过E点作CD的平行线交AD于F．②如果BA＝BC，过E点作CD的平行线交AD于F．③如果CA＝CB，过E点作CD的平行线交AD于F，作CG⊥AB于G．利用锐角三角函数的定义、平行线分线段成比例定理可求出∠ADE的正切值．

分三种情况：

①如果AB＝AC，过E点作CD的平行线交AD于F．如图1．

∵AD为BC边上的高线，tan∠B＝，

∴EF⊥AD，tan∠C＝．

设AE＝2a，

∵AE：CE＝2：3，

∴CE＝3a，AC＝5a．

∵tan∠C＝，

∴sin∠C＝，cos∠C＝．

在直角△ADC中，AD＝AC·sin∠C＝5a×＝3a．

在直角△AFE中，AF＝AE·sin∠AEF＝AE·sin∠C＝2a×＝a．

EF＝AE·cos∠AEF＝AE·cos∠C＝2a×＝a．

DF＝AD﹣AF＝3a﹣a＝a．

在直角△DFE中，tan∠ADE＝＝＝；

②如果BA＝BC，过E点作CD的平行线交AD于F．如图2．

∵AD为BC边上的高线，tan∠B＝＝，

∴可设AD＝3k，则BD＝4k，

由勾股定理得AB＝5k，

∴BC＝AB＝5k，DC＝AC﹣BD＝k．

∵EF∥CD，AE：EC＝2：3，

∴＝＝＝，

∴＝＝，

∴AF＝k，EF＝k，

∴DF＝AD﹣AF＝3k﹣k＝k．

在直角△DFE中，tan∠ADE＝＝＝；

③如果CA＝CB，过E点作CD的平行线交AD于F，作CG⊥AB于G．如图2．

∵在直角△BCG中，tan∠B＝＝，

∴可设CG＝3b，则BG＝4b，AB＝2BG＝8b，

由勾股定理得BC＝5b，则AC＝BC＝5b，

∵AE：EC＝2：3，

∴AE＝2b，EC＝3b．

∵在直角△ABD中，tan∠B＝＝，AB＝8b，

∴AD＝×8b＝b，BD＝×8b＝b，

∴CD＝BD﹣BC＝b﹣5b＝b．

∵EF∥CD，

∴＝＝＝，

∴＝＝，

∴AF＝b，EF＝b，

∴DF＝AD﹣AF＝b﹣b＝b．

在直角△DFE中，tan∠ADE＝＝＝．

故答案为或或．