Question

如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC= BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG。

（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；
（2）求证：AE=BF；
（3）若OG·DE=，求⊙O的面积。

Answer 1

解：（1）猜想：OG⊥CD； 证明：如图，连接OC、OD， ∵OC=OD，G是CD的中点， ∴由等腰三角形的性质，有OG⊥CD； （2）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， 而∠CAE=∠CBF（同弧所对的圆周角相等）， 在Rt△ACE和Rt△BCF中， ∵∠ACE=∠BCF=90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF， ∴Rt△ACE≌Rt△BCF（ASA）， ∴AE=BF； （3）如图，过点O作BD的垂线，垂足为H，则H为BD的中点， ∴，即AD=2OH， 又∠CAD=∠BADCD=BD， ∴OH=OG， 在Rt△BDE和Rt△ADB中， ∵∠DBE=∠DAC=∠BAD， ∴Rt△BDE∽Rt△ADB， ∴，即BD2=AD·DE， ∴BD2=AD·DE=2OG·DE=， 又BD=FD， ∴BF=2BD， ∴BF2=4BD2=① 设AC=x，则BC=x，， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠FAD=∠BAD， 在Rt△ABD和Rt△AFD中， ∵∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD，∠FAD=∠BAD， ∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA）， ∴，BD=FD， ∴CF=AF-AC=， 在Rt△BCF中，由勾股定理，得 BF2=BC2+CF2=x2+②， 由①、②，得， ∴x2=12，解得（舍去）， ∴， ∴⊙O的半径长为， ∴S⊙O=。