Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于第一、三象限内的、两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，，，点的纵坐标为4．

（1）求反比例函数和一次函数的函数表达式；

（2）连接，求四边形的面积；

（3）在（1）的条件下，根据图像直接写出反比例函数的值小于一次函数的值时，自变量的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）反比例函数解析式为；一次函数解析式为；（2）4；

（3）或．

【解析】

（1）根据BM⊥轴，可知△BMO为等腰直角三角形，可求得点B的坐标，将其代入反比例函数，求出，即可知反比例函数解析式，已知点A的纵坐标，代入求得的反比例函数解析式，可求得点A的横坐标，再利用待定系数法，即可求得一次函数解析式；

（2）一次函数与y轴交于点C，可求得C的坐标，易证四边形MBOC是平行四边形，OM即为高，四边形的面积即可求解；

（3）要使反比例函数的值小于一次函数的值，反比例函数图像一定在一次函数图像的下方，观察图像，即可求解自变量的取值范围．

解：（1）∵BM⊥轴，且BM=OM，

∴△BMO为等腰直角三角形，

∵OB=，

∴BM=OM=2，

∴点B的坐标为（-2，-2），

∵点B在双曲线上，代入 ，可求得，

故反比例函数的解析式为，

∵点A 也是反比例函数上的点，且A点的纵坐标为4，代入，

求得A点坐标为（1，4），

∵点A、B也是直线上的点，

∴ ，解得 ．

故一次函数的解析式为．

（2）∵ 一次函数与轴交于点C， 将代入解析式，可求得C点的坐标为（0，2）

∴ BM=OC，又∵BM//OC，

∴四边形MBOC是平行四边形，OM即为平行四边形MBOC的高，

∴四边形MBOC的面积，

故四边形MBOC的面积为4．

（3）根据图像观察可知，要使反比例函数的值小于一次函数的值时，反比例函数图像一定在一次函数图像的下方，包括A（1，4）的右侧，以及B（-2，-2）到轴这两部分，从而可知，自变量的取值范围是：或．

故答案为：或．