Question

8、已知m，n（m＞n）是正整数．
（1）若3^m与3ⁿ的末位数字相同，求m+n的最小值；
（2）若3^m与3ⁿ的末两位数字都相同，求m-n的最小值．

Answer 1

分析：（1）首先由已知得出，必须且只须3^m-3ⁿ是10的倍数，即3^m-3ⁿ=3ⁿ（3^m-n-1）是10的倍数．再确定m-n的最小值，最后求出m+n的最小值．
（2）同样由已知得出，必须且只须3^m-3ⁿ是10的倍数，即3^m-3ⁿ=3ⁿ（3^m-n-1）是10的倍数．通过两末位数经试算求出m-n的最小值．

解答：解：（1）若3^m与3ⁿ的末位数字相同，必须且只须3^m-3ⁿ是10的倍数，即3^m-3ⁿ=3ⁿ（3^m-n-1）是10的倍数．
又（3ⁿ，10）=1，所以3^m-n-1是10的倍数，即只需3^s（=3^m-n）的末位数字是1．
显然3⁴=81满足条件，所以m-n的最小值是4．
取n=1，则m=5，此时m+n最小，其最小值等于6．
答：m+n的最小值是6．
（2）若3^m与3ⁿ的末两位数字都相同，必须且只需3^m-3ⁿ是100的倍数．
即3^m-3ⁿ=3ⁿ（3^m-n-1）是100的倍数．又（3ⁿ，100）=1，
所以3^m-n-1是100的倍数，即只需3^r（=3^m-n）的末两位数字是01．
由于3^r的末位数字是1，所以r一定是4的倍数．令r=4t（t是正整数）所以3^r=3^4t=81^t的末两位数字是01．
经试算可知：81¹末两位数字是81；81²末两位数字是61；81³末两位数字是41；81⁴末两位数字是21；81⁵末两位数字是01；
当t=5时，81^t的末两位数字是01．所以当t=5时，r=4t取得最小值是20，也就是m-n的最小值是20．
答：m-n的最小值是20．

点评：本题的命题思路源于1978年第20届IMO的试题1：“与的最后三位数相等，试求使最小的正整数这里”，是这道IMO试题的简化．会解本题的同学，已经为解决这类竞赛试题作了知识与思路的必要的准备．此题难度较大．