Question

抛物线y=ax²+bx+c经过直角△ABC的顶点A（-1，0），B（4，0），直角顶点C在y轴上，若抛物线的顶点在△ABC的内部（不包括边界），则a的范围是

-

1

5

＜a＜0或0＜a＜

1

5

．

Answer 1

分析：根据点A、B的坐标求出OA、OB的长，再求出△ACO和△CBO相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出OC的长，再根据二次函数的对称性求出对称轴，设对称轴与直线BC相交于P，与x轴交于Q，利用∠ABC的正切值求出点P到x轴的距离PQ，设抛物线的交点式解析式y=a（x+1）（x-4），整理求出顶点坐标，再根据抛物线的顶点在△ABC的内部分两种情况列式求出a的取值范围即可．

解答：解：∵点A（-1，0），B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
易得△ACO∽△CBO，
∴

OA

OC

=

OC

OB

，
即

1

OC

=

OC

4

，
解得OC=2，
∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0），B（4，0），
∴对称轴为直线x=

-1+4

2

=

3

2

，
设对称轴与直线BC相交于P，与x轴交于Q，
则BQ=4-

3

2

=2.5，
tan∠ABC=

OC

OB

=

PQ

BQ

，
即

2

4

=

PQ

2.5

，
解得PQ=

5

4

，
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4），
则y=a（x²-3x-4）=a（x-

3

2

）²-

25

4

a，
当点C在y轴正半轴时，0＜-

25

4

a＜

5

4

，
解得-

1

5

＜a＜0，
当点C在y轴负半轴时，-

5

4

＜-

25

4

a＜0，
解得0＜a＜

1

5

，
所以，a的取值范围是-

1

5

＜a＜0或0＜a＜

1

5

．
故答案为：-

1

5

＜a＜0或0＜a＜

1

5

．

点评：本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，把二次函数的解析式用交点式形式表示更加简便，注意要分点C在y正半轴和负半轴两种情况讨论．