Question

【题目】如图，菱形ABCD的对角线交于点O，DF∥AC，CF∥BD．

（1）求证：四边形OCFD是矩形；（2）若AD＝5，BD＝8，计算tan∠DCF的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）tan∠DCF＝．

【解析】

（1）根据已知条件得到四边形OCFD是平行四边形，根据菱形的性质得到∠DOC＝90°，即可得到结论；

（2）根据菱形的性质得到AD＝CD，得到CD＝5，OD＝OB＝BD，求得OD＝4，根据矩形的性质得到OD＝CF，解直角三角形即可得到结论．

（1）证明：∵DF∥AC，CF∥BD，

∴四边形OCFD是平行四边形，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠DOC＝90°，

∴平行四边形OCFD是矩形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝CD，

∵AD＝5，

∴CD＝5，

∵菱形ABCD两条对角线交于O，

∴OD＝OB＝BD，

∴OD＝4，

∵四边形OCFD是矩形，

∴OD＝CF，

∴在Rt△CFD中，CF2+DF2＝CD2，

∴DF＝3，

∴tan∠DCF＝＝．