Question

已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．

（1）求证：BC＝CD；

（2）求证：∠ADE＝∠ABD；

（3）设AD＝2，AE＝1，求⊙O直径的长．

Answer 1

解：（1）∵∠ABC＝90°，  ∴OB⊥BC．  ∵OB是⊙O的半径，

∴CB为⊙O的切线．  又∵CD切⊙O于点D， ∴BC＝CD；

（2）∵BE是⊙O的直径，  ∴∠BDE＝90°． ∴∠ADE＋∠CDB ＝90°．

又∵∠ABC＝90°，  ∴∠ABD＋∠CBD＝90°．

由（1）得BC＝CD，∴∠CDB ＝∠CBD．   ∴∠ADE＝∠ABD；

（3）由（2）得，∠ADE＝∠ABD，∠A＝∠A．   ∴△ADE∽△ABD．

∴＝．  ∴＝，∴BE＝3，  ∴所求⊙O的直径长为3．