Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．

（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB＝FB．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，∠DAG＝∠CDE，即可得出△ADG≌△DCE；

（2）延长DE交AB的延长线于H，根据△DCE≌△HBE，即可得出B是AH的中点，进而得到AB＝FB．

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，

又∵AG⊥DE，

∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，

∴∠DAG＝∠CDE，

∴△ADG≌△DCE（ASA）；

（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，

∵E是BC的中点，

∴BE＝CE，

又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，

∴△DCE≌△HBE（ASA），

∴BH＝DC＝AB，

即B是AH的中点，

又∵∠AFH＝90°，

∴Rt△AFH中，BF＝ AH＝AB．