Question

如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒．
（1）当点B与点D重合时，求t的值；
（2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S=？
（3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线y=ax²-10ax的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于∠CAB=90°，易证得Rt△CAO∽Rt△ABE；当B、D重合时，BE的长已知（即OC长），根据AC、AB的比例关系，即可得到AO、BE的比例关系，由此求得t的值．
（2）求△BCD的面积时，可以CD为底、BD为高来解，那么表示出BD的长是关键；Rt△CAO∽Rt△ABE，且知道AC、AB的比例关系，即可通过相似三角形的对应边成比例求出BE的长，进一步得到BD的长，在表达BD长时，应分两种情况考虑：①B在线段DE上，②B在ED的延长线上．
（3）首先将抛物线的解析式进行配方，可得到抛物线的顶点坐标，将其横坐标分别代入直线MB、AB的解析式中，可得到抛物线对称轴与这两条直线的交点坐标，根据这两个坐标即可判定出a的取值范围．
解答：解：（1）∵∠CAO+∠BAE=90°，∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠CAO=∠ABE．
∴Rt△CAO∽Rt△ABE．
∴=．
∴=．
∴t=8．

（2）由Rt△CAO∽Rt△ABE可知：BE=，AE=2．
当0＜t＜8时，S=CD•BD=（2+t）（4-）=．
∴t₁=t₂=3．
当t＞8时，S=CD•BD=（2+t）（-4）=．
∴t₁=3+5，t₂=3-5（为负数，舍去）．
当t=3或3+5时，S=．

（3）过M作MN⊥x轴于N，则MN=CO=2．
当MB∥OA时，BE=MN=2，OA=2BE=4．
抛物线y=ax²-10ax的顶点坐标为（5，-25a）．
它的顶点在直线x=5上移动．
直线x=5交MB于点（5，2），交AB于点（5，1）．
∴1＜-25a＜2．
∴-＜a＜-．
点评：考查了二次函数综合题，该题是图形的动点问题，前两问的关键在于找出相似三角形，得到关键线段的表达式，注意点在运动过程中未知数的取值范围问题．最后一问中，先得到抛物线的顶点坐标是简化解题的关键．