题目内容
（2013•石景山区一模）如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△ECD分别置于平面直角坐标系xOy中，使点E与点B重合，直角边OB、BC在y轴上．已知点D （4，2），过A、D两点的直线交y轴于点F．若△ECD沿DA方向以每秒| 2 |
（1）求直线AD的函数解析式；
（2）试探究在△ECD平移过程中，四边形MNPQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及t的取值；若不存在，请说明理由；
（3）以MN为边，在E′D′的下方作正方形MNRH，求正方形MNRH与坐标轴有两个公共点时t的取值范围．
分析：（1）求出A、D两点的坐标，求得解析式即可；
（2）求出直线AB、BD、E′D′的解析式，利用平移的性质，由△MQD′∽△BJD，得出S△MQD′，表示出四边形MNPQ的面积，利用二次函数求得最大值；
（3）求出正方形MNRH与坐标轴有两个公共点时点H在x轴上时，有M（t，4-2t）横纵坐标相等求得问题的解．
（2）求出直线AB、BD、E′D′的解析式，利用平移的性质，由△MQD′∽△BJD，得出S△MQD′，表示出四边形MNPQ的面积，利用二次函数求得最大值；
（3）求出正方形MNRH与坐标轴有两个公共点时点H在x轴上时，有M（t，4-2t）横纵坐标相等求得问题的解．
解答：解：（1）由题意A（2.0），
由D（4，2），
可得直线AD解析式：y=x-2；
（2）在△ECD平移过程中，四边形MNPQ的面积存在最大值，
理由如下：
由B（0，4），
可得直线AB解析式：y=-2x+4，
直线BD解析式：y=-
x+4，J（1，2）．
在△ECD平移t秒时，由∠CDF=45°，
可得D′（4-t，2-t），N（0，4-
t），
设直线E′D′解析式为：y=-
x+4-
t，
可得M（t，4-2t），
Q（
，2-t），P（0，2-t）
由△MQD′∽△BJD，得
=(
)2，
可得S△MQD′=3(1-
t)2，
S梯形E′C′PN=
t(2+2-
t)=-
t2+2t，
S四边形MNPQ=S△E′C′D′- S△MQD′- S梯形E′C′PN
∴当t=1时，S最大=
；
（3）当点H在x轴上时，有M（t，4-2t）横纵坐标相等，
即t=4-2t，
∴t=
，
∴0＜t＜
．
由D（4，2），
可得直线AD解析式：y=x-2；
（2）在△ECD平移过程中，四边形MNPQ的面积存在最大值，
理由如下：
由B（0，4），
可得直线AB解析式：y=-2x+4，
直线BD解析式：y=-
| 1 |
| 2 |
在△ECD平移t秒时，由∠CDF=45°，
可得D′（4-t，2-t），N（0，4-
| 3 |
| 2 |
设直线E′D′解析式为：y=-
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
可得M（t，4-2t），
Q（
| t+2 |
| 2 |
由△MQD′∽△BJD，得
| S△MQD′ |
| S△BJD |
3-
| ||
| 3 |
可得S△MQD′=3(1-
| 1 |
| 2 |
S梯形E′C′PN=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
S四边形MNPQ=S△E′C′D′- S△MQD′- S梯形E′C′PN
|
∴当t=1时，S最大=
| 3 |
| 2 |
（3）当点H在x轴上时，有M（t，4-2t）横纵坐标相等，
即t=4-2t，
∴t=
| 4 |
| 3 |
∴0＜t＜
| 4 |
| 3 |
点评：此题综合考查平移的性质，三角形相似的性质，二次函数的性质等知识点，难度较大．
练习册系列答案
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