题目内容

（2013•石景山区一模）如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△ECD分别置于平面直角坐标系xOy中，使点E与点B重合，直角边OB、BC在y轴上．已知点D （4，2），过A、D两点的直线交y轴于点F．若△ECD沿DA方向以每秒
2
个单位长度的速度匀速平移，设平移的时间为t（秒），记△ECD在平移过程中某时刻为△E′C′D′，E′D′与AB交于点M，与y轴交于点N，C′D′与AB交于点Q，与y轴交于点P（注：平移过程中，点D′始终在线段DA上，且不与点A重合）．
（1）求直线AD的函数解析式；
（2）试探究在△ECD平移过程中，四边形MNPQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及t的取值；若不存在，请说明理由；
（3）以MN为边，在E′D′的下方作正方形MNRH，求正方形MNRH与坐标轴有两个公共点时t的取值范围．
分析：（1）求出A、D两点的坐标，求得解析式即可；
（2）求出直线AB、BD、E′D′的解析式，利用平移的性质，由△MQD′∽△BJD，得出S△MQD′，表示出四边形MNPQ的面积，利用二次函数求得最大值；
（3）求出正方形MNRH与坐标轴有两个公共点时点H在x轴上时，有M（t，4-2t）横纵坐标相等求得问题的解．
解答：解：（1）由题意A（2.0），
由D（4，2），
可得直线AD解析式：y=x-2；
（2）在△ECD平移过程中，四边形MNPQ的面积存在最大值，

理由如下：
由B（0，4），
可得直线AB解析式：y=-2x+4，
直线BD解析式：y=-
1
2
x+4，J（1，2）．
在△ECD平移t秒时，由∠CDF=45°，
可得D′（4-t，2-t），N（0，4-
3
2
t），
设直线E′D′解析式为：y=-
1
2
x+4-
3
2
t，
可得M（t，4-2t），
Q（
t+2
2
，2-t），P（0，2-t）
由△MQD′∽△BJD，得
S△MQD′
S△BJD
=(
3-
3
2
t
3
)2，
可得S△MQD′=3(1-
1
2
t)2，
S梯形E′C′PN=
1
2
t(2+2-
1
2
t)=-
1
4
t2+2t，
S四边形MNPQ=S△E′C′D′- S△MQD′- S梯形E′C′PN
=-
1
2
t2+t+1
=-
1
2
(t-1)2+
3
2

∴当t=1时，S最大=
3
2
；
（3）当点H在x轴上时，有M（t，4-2t）横纵坐标相等，
即t=4-2t，
∴t=
4
3
，
∴0＜t＜
4
3
．
点评：此题综合考查平移的性质，三角形相似的性质，二次函数的性质等知识点，难度较大．
练习册系列答案
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