题目内容

如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCO，B点的坐标为（12，6），点C、A在坐标轴上．⊙A、⊙P的半径均为1，点P从点C开始在线段CO上以1单位/秒的速度向左运动，运动到点O处停止．与此同时，⊙A的半径每秒钟增大2个单位，当点P停止运动时，⊙A的半径也停止变化．设点P运动的时间为t秒．
（1）在0＜t＜12时，设△OAP的面积为s，试求s与t的函数关系式．并求出当t为何值时，s为矩形ABCO面积的 $数学公式$ ；
（2）在点P的运动过程中，是否存在某一时刻，⊙A与⊙P相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）∵B点的坐标为（12，6），
∴OA=6，OC=12，
∴OP=12-t；
当0＜t＜12时，s= $\text{[math]}$ OA×OP= $\text{[math]}$ ×6×（12-t）=-3t+36，
∵s= $\text{[math]}$ S_矩形ABCO，
∴-3t+36= $\text{[math]}$ ×12×6，
解得：t=4，
即当t=4时，S为矩形ABCO面积的 $\text{[math]}$ ．

（2）如图，当⊙A与⊙P外切时

OP=12-t，AP=1+2t+1=2t+2；
在Rt△AOP中，AO²+PO²=AP²，
∴6²+（12-t）²=（2t+2）²，
解得： $\text{[math]}$ （不合题意，舍去），t₂=4；
此时，P点坐标为（8，0），
如图，当⊙A与⊙P内切时，

OP=12-t，AP=1+2t-1=2t；
在Rt△AOP中，AO²+PO²=AP²，
∴6²+（12-t）²=（2t）²，
解得： $\text{[math]}$ ，t₂=-2 $\text{[math]}$ -4（不合题意，舍去），
此时，P点坐标为（16-2 $\text{[math]}$ ，0）．
分析：（1）利用直角三角形的面积公式得S= $\text{[math]}$ OA×OP= $\text{[math]}$ ×6×（12-t）=-3t+36．又s= $\text{[math]}$ S_矩形ABCO= $\text{[math]}$ ×12×6可求出t的值．
（2）若两圆相切，则有在Rt△AOP中，AO²+PO²=AP²．将OA=6，PO=12-t，AP=2t+1+1=1t+2代入，求出t．若有实解则相切，没有实解则不相切．
点评：考查面积公式和圆相切的性质．