Question

Given in the△ABC，a，b，c are three sides of the triangle，and

3

a

=

2

b

+

1

c

，then∠A is（　　）
（英汉词典acute angle：锐角；obtuse angle：钝角）

• A、acute angle
• B、right angle
• C、obtues angle
• D、acute angle or obtues angle

Answer 1

分析：根据反证法假设a是最大边，得出a＞b a＞c，即可得出

1

a

+

1

a

+

1

a

＜

1

b

+

1

b

+

1

c

，进而得出矛盾得出原命题正确；
也可以原式

3

a

=

2

b

+

1

c

可变形为：

3

a

-

3

b

=

1

c

-

1

b

，利用分式的运算得出

3(b-a)

ab

=

b-c

bc

，进而利用如果a＞b，则c＞b，以及如果a＜b 则c＜b，得出a，b，c的大小，从而得出A的取值范围．

解答：方法一：
解：若a是最大边则，a＞b a＞c 所以

1

a

＜

1

b

，

1

a

＜

1

c

，
∴

1

a

+

1

a

+

1

a

＜

1

b

+

1

b

+

1

c

，
∴

3

a

＜

2

b

+

1

c

而

3

a

=

2

b

+

1

c

，
所以矛盾所以a不是最大边，若是∠A是钝角或直角则a是最大边与a不是最大边矛盾所以∠A是锐角；
故选：A．

方法二：
解：原式 

3

a

=

2

b

+

1

c

可变形为：

3

a

-

3

b

=

1

c

-

1

b

，
∴

3(b-a)

ab

=

b-c

bc

，
 如果a＞b，则c＞b，此时

b-a

ab

＞

b-c

bc

，
展开bc（b-a）＞ab（b-c），
∴b²c-abc＞ab²-abc，
∴c＞a，
所以c＞a＞b，
∴0°＜A＜90°，
如果a＜b 则c＜b，
同理 c＜a，c＜a＜b，∴0°＜A＜90°（边推角是根据大边对大角小边对小角推出的范围）
故角A为锐角；
故选：A．

点评：此题主要考查了三角形的边角关系，根据三角形中大边对大角小边对小角推出A的范围是解题关键．