Question

如图，过Rt△ABC的斜边中点D，作BC的垂线DE，与∠BAC的平分线交于E．求证DE＝BC．

Answer 1

答案：
解析：

证明：过A作AH⊥BC，垂足为H，连接AD． 　　在Rt△ABC中，AH⊥BC，所以∠CAH＝∠B． 　　又∵　　D是BC的中点，所以DA＝DB，∠B＝∠DAB，∴∠DAB＝∠CAH． 　　又∵　　AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，则∠DAE＝∠HAE． 　　又∵　　DE⊥BC，AH⊥BC，所以DE∥AH． 　　则∠E＝∠HAE，∴∠E＝∠DAE，AD＝DE． 　　又∵　　D是Rt△ABC斜边BC的中点，∴AD＝BC．∴DE＝BC． 　　分析：观察图形，BC是直角三角形的斜边，D为BC的中点，若连接AD，则AD＝BC． 　　这时再考虑要证DE＝BC，那么AD是否等于DE呢？ 　　再观察∠E是否等于∠DAE呢？ 　　在条件中说明AE是∠BAC的平分线，则∠BAE＝∠CAE，作AH⊥BC于H，则AH∥DE，∠E＝∠EAH．现在需要证∠DAE＝∠EAH，也可以证∠BAD＝∠CAH． 　　而在Rt△ABC中，∠CAH＝∠B．又由DB＝DA，∠B＝∠BAD，因此∠BAD＝∠CAH，这样问题就得到证明．